АЛГОРИТМИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ

Моделирование различных систем эксплуатации связано с моде­лированием следующих основных элементов: длительности полета, оіреіков времени, соответствующих продолжительности восстанов — ‘м и и — л технического состояния и изменения технического состояния комплекса АС. Кроме того, необходимо изучить влияние на эксплу — ■I і л иноиные показатели достоверности результатов контроля и ка­чества восстановления. Такое исследование имеет две цели: устано­вить количественные соотношения, описывающие влияние этих ком­понентов на показатели системы эксплуатации, и оценить устойчи­вость системы эксплуатации к погрешностям исходных данных..

В общепринятом смысле устойчивость любой системы характеризу­ется как свойство, связанное с затуханием реакции этой системы на возмущающее воздействие.

Если бы поведение системы эксплуатации можно было описать, с помощью дифференциальных уравнений, то исследование устой­чивости свелось бы к анализу решений этих уравнений. Хотя это достаточно сложный и трудоемкий процесс, но в принципе выпол­нимый, например, на основе учения Ляпунова об устойчивости — движения.

Однако множество факторов, которые необходимо учитывать при описании системы эксплуатации, недифференцируемые функ­ции, случайности в поведении параметров такой системы’не позво­ляют описать ее с помощью дифференциальных уравнений. Поэто­му устойчивость исследуется на основе статистического моделиро­вания процесса эксплуатации АС, при этом в качестве возмущаю­щих воздействий рассматриваются погрешности в исходных дан­ных о безотказности АС (т. е. в матрице вероятностей переходов) и случайность в принимаемых решениях на восстановление АС.

Реакция системы описывается показателями, введенными в. §7.1. Необходимо найти значения этих показателей в функции от возмущающих воздействий и установить характер их изменения во времени моделирования.

Будем считать, что система эксплуатации устойчива к возмуща­ющим воздействиям, если при статистическом моделировании с их учетом критерии ее эффективности сходятся к некоторым постоян­ным значениям.

В § 3.5 при описании структуры алгоритма статистического мо­делирования по существу были рассмотрены некоторые необходи­мые элементы: моделирование технического состояния и затрат на — восстановление, а также принципы расчета эксплуатационных по­казателей. Моделирование длительности полетов осуществляетсяг на основе стандартного подхода, связанного с моделированием от­резков, длительность которых описывается заданной функцией рас­пределения {37].

Рассмотрим вопросы, связанные с моделированием изменения достоверности контроля и качества восстановления и оценкой их- ] влияния на введенные выше показатели В общем случае эффек-1 типность системы контроля с точки зрения правильного заключе-1 ния о состоянии контролируемого объекта оценивается достоверно­стью результатов контроля Н, которая связана с вероятностями I ошибок первого и второго рода соотношением

//=1_(а+р),

где а — вероятность появления ошибок 1-го рода (неисправным признан фак-1

тически исправный объект); f> — вероятность появления ошибок 2-го родаа

(неисправный объект признан исправным)’.

Ошибки первого рода приводят к дополнительным проверкам и ремонтно-регулировочным работам, что увеличивает трудозатраты и. і обслуживание. Ошибки второго рода непосредственно на экс­плуатационные показатели не влияют, поэтому примем р = 0.

Для расчета погрешностей измерения важно знать плотность вероятности случайных погрешностей р(Ха) измерительного трак­ів системы контроля. Этот тракт представляет собой совокупность устройств (датчики, линии связи, коммутатор, преобразователи, нормализаторы и т. д.), каждое из которых вносит погрешность в результат измерения. При проектировании систем контроля обычно предполагается, что погрешности приблизительно равны и незави­симы. Это позволяет считать распределение суммарной погрешно­сти нормальным:

‘,<A’|a)=Titexp[‘i£ir1]’ (7-6)

I чс /і(Х|с)—плотность вероятности измеренных значений при условии, что ис­тинное значение измеряемой величины равно о; х — результат наблюдения; о — средняя квадратичная погрешность результата наблюдения.

Однако при задании исходного процесса в виде цепи Маркова такая форма представления погрешностей измерения неудобна. По­їтиму необходимо вместо распределения (7.6) построить матрицу условных вероятностей погрешностей измерений — X’=||p(Si||Sj)||, і. 7 = 1, 2,где F — число состояний цепи Маркова. Такая мат­рица строится следующим образом. Предполагается, что истинное шлчение измеряемой величины находится в центре отрезка поля допуска, соответствующего состоянию j марковской цепи. Пуст*- граница этого отрезка есть [а, Ь.

Тогда с учетом (7.6)

/7{5^) = Р{л:е5^|5,}=Ф — ф(^7^) ’

мгФ(‘)—табулированная функция нормального распределения.

Таким образом, мы вычислили вероятность того, что случайная величина х попала в интервал (а, Ь], т. е. принадлежит у’-му состоя­нию цепи Маркова при условии, что исходное состояние есть і. Ме­няя значения границ состояний, можно построить искомую матри­цу X, соответствующую фиксированному значению а. При вариа­ции а в долях от размера отрезка (а, Ъ] матрица X будет изме­няться.

Типовая матрица точности, например, для марковской цепи с пятью состояниями имеет вид:

^0,6915 0,2417 0,0606 0,0060 0,0002^

0,3085 0,3830 0,2417 0,0606 0,0062.

0,0668 0,2417 0,3830 0,2417 0,0668

0,0062 0,0606 0,2417 0,3830 0,3085

Vo 0 0 0 1 J

Особенность матрицы X — выбор элементов последней строки, который обусловлен тем, что в моделях эксплуатации ошибки вто­рого рода предполагаются равными нулю.

На выходе системы контроля результат измерения будет зави­сеть от двух составляющих: истинного процесса, задаваемого мат­рицей Q; погрешностей системы контроля, определяемых матри­цей X. Вследствие очевидной независимости этих составляющих совместная вероятность измеренного значения при фиксированных. погрешностях равна произведению вероятностей, что при матрич­ном описании может быть представлено как R = QX, где R — мат­рица результатов измерений.

Таким образом, мы получили матрицы вероятностей переходов, описывающие истинный случайный процесс, с учетом погрешностей; измерений вследствие ошибок первого рода.

Эти погрешности с точки зрения конечных результатов, связан­ных с показателями системы эксплуатации, можно рассматривать или как ошибки системы контроля, или как погрешности в опреде­лении исходных данных о безотказности АС, т. е. элементов матри­цы вероятностей переходов. Исследование влияния погрешностей контроля на эксплуатационные показатели сводится к определению- матрицы — R(a) для каждой системы, моделированию процесса экс­плуатации и оценке соответствующих показателей при выбранном значении о. Варьируя о, можно определить искомое влияние; вывод об устойчивости делается при условии, что получены оценки соот­ветствующих показателей с заданной точностью.

В § 3.4 для описания результатов восстановительных работ бы­ла введена функция качества восстановления (ФКВ), представля­ющая собой плотность распределения значений обобщенного пара­метра по области работоспособности, точнее, по состояниям аппрок­симирующей цепи Маркова. Опишем, как при статистическом мо­делировании можно учесть качество восстановления.

Пусть в момент t0 произведены ПР или ремонт, после которых изменяется состояние параметра. При аппроксимации процесса о помощью цепей Маркова это означает, что изменился номер состоя­ния цепи Маркова с і на jФі, и дальнейшее развитие траектории цепи должно осуществляться из состояния /. Иными словами, мо­делирование ФКВ сводится к выбору начального состояния цепи: Маркова.

При моделировании ФКВ выбиралась трех типов: 1 — после вос­становления значение обобщенного параметра равно номинальному (полное восстановление); 2 — значение обобщенного параметра: распределено равномерно по всей области работоспособности (для моделей I и II) или области [1, Ї*] (для модели III); 3 — распреде­ление значений обобщенного параметра описывается полунормаль — ным законом [62] вблизи границы отказа (модели I и II) или уп­реждающего допуска і* (модель III).

Для АС типовыми являются два вида параметров—-монотонно» и немонотонно изменяющиеся. Поэтому при моделировании харак-

icp матриц Q был подобран так, чтобы имитировать поведение н их параметров. Примерами служат матрицы Qi и Qn;

✓’0,652	0,143	0,116	0,055	0,034
0	0,652	0,177	0,108	0,063
0	0	0,652	0,232	0,116
0	0	0	0,652	0,348
V[5]	5	0	0	1 J

/0,682	0,123	0,106	0,055
Г 0,168	0,573	0,127	0,075
0,113	0,138	0,534	0,119
0,053	0,104	0,155	0,470
‘0	0	0	0

Здесь матрица Qi описывает параметр неубывающего, a Qn — немонотонного типов. Продолжительность времени восстановления ииодилась в нормированном виде. Так, затраты на ремонт выбира­лись равными единице, а затраты на ПР в интервале [0, 1].

7.3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ 1

Значения оценок показателей (см. § 7.1), полученных на основе статистического моделирования при вариации срсднеквадратиче — I кой погрешности системы контроля и качества восстановительных работ, приводятся для моделей I, II, III в табл. 7.1. Для удобства дальнейшего анализа введем в обозначения показателей римские цифры I, II, III, что будет соответствовать моделям I, II, III.

Анализ данных таблицы показывает, что для всех моделей при фиксированном суммарном времени моделирования зависимости ве­личин g и В от погрешности измерения, как и следовало ожидать, совпадают с точностью до постоянных коэффициентов. Поэтому при дальнейшем анализе будут рассматриваться только удельные «атраты g, а все полученные при этом выводы будут справедливы и тля суммарных затрат на заданном интервале.

В табл. 7.1 для модели I случаю о = 0 и функции качества вос — ( і ановления типа I (ФКВ типа 1) соответствуют собственные ха­рактеристики безотказности и восстанавливаемости комплекса АС (средние времена между отказами и восстановления, а также и нругие, связанные с ними, показатели). При выбранных исходных данных средняя наработка на отказ Г0і = 8,71 ч, а среднее время восстановления 7’в1 = 2,37 ч. На заданном интервале моделирова­ния (10Г| ч наработки) получено 11 469 отказов, на восстановление которых требуется 27 296 ч.

		<т
Показатель	Тип ФКВ	0	0,5	I	: Г, 5	2

Модель I (эксплуатация по надежности) g 1 0,272 0,285 0,308 0,330 0,359′ 2 0,322 0,339 0,365 0,393 0,425 3 0,436 0,455 0,487 0,509 0,530- То 1 8,71 8,25 7,54 6,96 6,32 2 7,15 6,75 6,20 5,71 5,23; 3 5,09 4,86 4,50 4,29 4,10 Тв 1 2,37 2,35 2,32 2,30 2,27 2 2,31 2,29 2,27 2,24 2,22′ 3 2,22 2,21 2,19 2,18 2,17 к 1 11469 12108 13248 14357 15815 2 13970 14809 16105 17497 19086. 3 19626 20579 22188 23293 24350 в 1 27296 28574 30854 33072 35988 2 32298 ,33976 36568 39352 42530 3 43610 45508 48734 50944 53058 Модель II (эксплуатация по ресурсу) g 1 0,750 0,764 0,787 0,814 0,842 2 0,-815 0,834 0,862 0,889 0,921 3 0,944 0,972 1,000 1,035 1,050 То 1 9,63 9,04 8,17 7,37 6,68 2 7,33 6,85 6,25 5,81 5,28 3 4,98 4,65 4,29 4,06 3,93. тв 1 7,23 6,91 6,44 6,00 5,63. 2 5,98 5,72 5,39 5,13 4,87 3 4,70 4,52 4,33 4,20 4,13 к 1 10382 11053 12228 13553 14954 2 13630 14592 15980 17305 18910 3 20047 21470 23289 24621 25412 в 1 75072 76414 78764 81414 84216 2 81568 83492 86286 88918 92128 3 94402 97248 100886 103550 105132. Модель III (эксплуатация по состоянию) g 1 0,228 0,240 0,262 0,289 0,323′ 2 0,230 0,264 0,293 0,327 0,355- 3 0,273 0,296 0,335 0,373 0,414 То 1 13,31 12,43 11,06 9,67 8,26 2 13,17 11,17 9,73 8,30 7,27 3 11,08 9,90 8,27 7,08 6,14

1 Ісжазатель	Тип ФКВ	а
0	0,5	1	1,5	2
тв	і	3,04	2,98	2,90	2,79	2,67
	2	3,03	2,99	2,85	2,72	2,61
	3	3,03	2,93	2,77	2,64	2,53
к	1	7507	8044	9036	10339	12102
	2	7587	8948	10274	12041	13744
	3	9022	10092	12081	14112	16348
в	1	22827	24039	26262	28949	32360
	2	23008	26484	29323	32768	35983
	3	27375	29657	33562	37314	41401

Использование системы контроля обобщенных параметров, применяемой только для оценки работоспособности и имеющей среднеквадратичную погрешность 0 = 0,5, привело к тому, что вслед­ствие ошибок I рода (см. § 7.2) еще в 639 случаях состояние комп­лекса идентифицировано как отказовое. Следовательно, необходи­мы дополнительные работы по контролю и восстановлению, в ре­зультате чего при фиксированном времени моделирования возрас­тут суммарные затраты, сократится интервал времени между отка­зами, и при однозначном соответствии между показателями (7.1) —

(7.5) изменятся величины g, Тв и К. По мере роста а описанная тен­денция сохраняется.

Показатели изменяются и при учете качества восстановитель­ных работ, которое моделируется с помощью различных ФКВ. На­помним, что ФКВ —это распределение начальных состояний цепи Маркова, аппроксимирующей обобщенный параметр. Выбор ФКВ типа 2 или 3 приводит к тому, что в среднем обобщенный параметр быстрее, чем при ФКВ типа 1, достигает границ области работо­способности. Поэтому при фиксированном времени моделирования і озрастает общее число ситуаций, классифицируемых как отказы, а следовательно, изменяются все остальные показатели. Так, при ФКВ типа 2 общее число отказов возрастает до 13 970, а при ФКВ шпа 3 — до 19 626 (о = 0) .

Введение периодических ПР позволяет при восстановительных работах, характеризуемых ФКВ типа 1, несколько увеличить сред­нее время между отказами комплекса АС и сократить число отка­зов, однако при этом возрастают средний интервал восстановления п средние удельные затраты (см. табл. 7.1, модель II).

При использовании для проведения предупредительных работ упреждающего допуска (см. табл. 7.1, модель III) существенно уве­личиваются показатели безотказности и сокращаются средние удельные затраты при относительно небольшом возрастании сред­него интервала восстановления.

Более детальную оценку влияния качества восстановительных работ на эффективность системы эксплуатации (модели I—III)

можно получить из анализа данных табл. 7.2, в которой представ — | лены отношения вида Лг/Ль г=2,3. Здесь Л* — значения показате­лей, полученные при 1-м типе ФКВ, Л] — показатель при ФКВ типа I.

Если восстановительные работы проводятся так, что начальные о значения обобщенного параметра распределены по области рабо­тоспособности равномерно, то для модели I практически независи­мо от точности системы контроля средние удельные затраты увели­чиваются на 18—20%. Соответственно уменьшается средний интер­вал между отказами и увеличивается число отказов. Если качество восстановительных работ еще более низкое (ФКВ типа 3), то сред­ние удельные потери возрастают значительно (на 50—60%), соот­ветственно на 50—70% увеличивается число отказов и сокращает­ся среднее время между отказами (на 35—40%). Среднее время восстановления при этом изменяется мало (на 4—6%).

Для периодических ПР при ФКВ типа 2 по сравнению с ФКВ тина 1 средние удельные затраты возрастают на 8—10% (во всем диапазоне изменения величины о), средняя наработка на отказ сок­ращается на 20—25%, соответственно увеличивается число отка­зов. При ухудшении качества восстановительных работ (ФКВ типа 3) указанная тенденция для всех показателей сохраняется, но при большем изменении по абсолютной величине.

Из табл. 7.2 следует, что система эксплуатации по состоянию менее критична, чем модели I и II к качеству восстановительных работ — диапазон изменения отношений показателей при различ­ных ФКВ для этой модели наименьший. Так, например, по основ­ному критерию — средним удельным затратам — в модели III при о = 0 он не превышает 20%, тогда как в модели I —около 60%, а в модели II — около 26%. Еще более существенные отличия возни­кают по показателям безотказности и соответственно по количеству отказов—в модели I количество отказов возрастает на 20—70%, в модели II — на 30 -90%, а в модели III—только на 1—20%.

Результаты моделирования (см. табл. 7.1) позволяют количест­венно оценить влияние погрешности контроля о на эксплуатацион­ные показатели. Рассчитаем на основе данных табл. 7.1 прираще­ния показателей для каждого из диапазонов изменения а (табл. 7.3), где в числителе указаны приращения для модели II, в знаме­нателе для модели III.

Из табл. 7.3 видно, что по мере увеличения абсолютного значе­ния погрешностей контроля возрастают в среднем приращения эксплуатационных показателей. Отсюда следует, что метрологиче­ские характеристики АДТС, определяемые точностью о, нелиней­ным образом влияют на эксплуатационные показатели. Для модели III это влияние проявляется в большей степени.

Результаты моделирования позволяют в первом приближении оценить область целесообразных значений о для каждой модели эксплуатации. Рассчитаем нормированные приращения эксплуата­ционных показателей относительно значения, соответствующего

u = 0, т. e. ^ = lj 100% (табл. 7.4). В таблице в числите­

ле приведены значения £, соответствующие модели II, в знаменате­ле — модели III.

Т а б л и ц а 7.2 а 1 Іоказатель Отношение ФКВ 0 0,5 1,0 1,5 2,0

Модель I (эксплуатация по надежности) g 2/1 1,184 1,189 1,185 1,191 1,184 3/1 1,603 1,596 1,581 1,542 1,476 То 2/1 0,821 0,818 0,822 0,820 0,828 3/1 0,584 0,589 0,597 0,616 0,649 Тв 2/1 0,975 0,974 0,978 0,974 0,978 3/1 0,937 0,940 0,944 0,948 0,956 к 2/1 1,219 1,223 1,216 1,219 1,207 3/1 1,711 1,700 1,675 1,622 1,540

Модель 11 (эксплуатация по ресурсу) (Г 2/1 1,087 1,092 1,095 1,092 1,094 3/1 1,259 1,272 1,271 1,271 1 247 То 2/1 0,761 0,758 0,765 0,788 0,790 3/1 0,517 0,514 0,525 0,551 0,588 Т в 2/1 0,827 0,828 0,837 0,855 0,865 3/1 0,650 0,654 0,672 0,700 0,734 к 2/1 1,313 1,320 1,307 1,277 1,265 3/1 1,931 1,942 1,905 1,817 1,699

Модель 111 (эксплуатация по состоянию) g 2/1 1,009 1,100 1,118 1,131 1,111 3/1 1,197 1,233 1,279 1,291 1,282 То 2/1 0,989 0,899 0,880 0,858 0,880 3/1 0,832 0,796 0,748 0,732 0,740 Тв 2/1 0,997 1,003 0,983 0,975 0,978 3/1 0,997 0,983 0,955 0,946 0,948 к 2/1 1,011 1,112 1,137 1,165 1,136 3/1 1,202 1,255 1,337 1,364 1,351

Выберем уровень снижения основного показателя g, по которо­му оптимизируется модель III, равным 5%, и оценим соответству­ющее максимальное значение а (см. табл. 7.4). Тогда для модели II при ФКВ I типа допустимы измерители, имеющие погрешности со средней квадратичной ошибкой о^1. Для модели III требова­ния к точности будут более жесткими: о^0,5. Если аналогично оп­ределить диапазон допустимых изменений ц при условии, что ос­тальные показатели снизились на 5%, то окажется, что для обеих моделей эксплуатации целесообразно выбрать о^0,5. При таких погрешностях контроля влияние системы контроля на выходные показатели системы эксплуатации будет мало, и при этом реализу­ются преимущества от внедрения системы эксплуатации III.

Т а б л и ц а 7.3 Показатель Тип ФКВ а 0—0,5 0,5—1 1-1,5 1,5—2 R 1 0,014 0,023 0,027 0,028 0,012 0,022 0,027 0,034 2 0,019 0,028 0,027 0,032 0,034 0,029 0,034 0,032 3 0,028 0,028 0,035 0,015 0,023 0,039 0,039 0,041 То 1 —0,59 —0,87 —0,80 —0,69 —0,88 —1,37 — 1,39 -1,41 2 -0,48 —0,60 —0,44 —0,53 —2,00 —1,44 — 1,43 — 1,03 3 —0,33 —0,36 —0,23 —0,13 — 1,18 -1,63 —1,19 —0,97 Тв 1 —0,32 —0,47 —0,44 -ч0,37 —0,06 —0,08 —0,11 —0,12 2 —0,26 —0,33 —0,26 —0,26 —0,04 -0,14 —0,13 —0,11 3 —0,18 —0,19 ,-0,13 —0,07 —0,10 —0,16 —0,13 —0,11 к 1 671 1175 1325 1401 537 992 1303 1763 2 962 1388 1325 1605 1351 1326 1767 1703 3 1423 1819 1332 791 1070 1989 2031 2236

Отметим особенность выбора допустимых погрешностей системы контроля для модели III. Величина о выбиралась нормированной (см. § 7.2) относительно размера состояния. Так, например, о = 0,5 означает, что погрешность системы контроля составляет половину от значения одного из отрезков — состояний, на которые разделе­на область работоспособности. Поэтому выбирать допустимую пог­решность контроля необходимо в зависимости от числа состояний, на которое делится область работоспособности. Выходные пара­метры современных АС при числе состояний б—8 достаточно хоро­шо аппроксимируются цепями Маркова 1-го порядка. А это озна­чает, что погрешности следует выбирать не хуже 1/12^-1/16 от по­ля допуска, что технически вполне выполнимо.

Таблица 7.4

Показатель	ФКВ	а
0	0,5	1,0	1,5	2,0
S	1	0	1,87	4,93	8,53	12,27
			5,26	14,91	26,75	41,67
	2		2,33	5,77	9,08	13,01
			14,78	27,39	42,17	56,09
	3		2,97	5,93	9,64	11,23
			8,42	22,71	36,63	51,65
Т0	1	0	—6,13	— 15,16	—23,47	—30,63
			—6,66	—16,90	—27,35	—37,94
,	2		—6,55	—14,73	—20,74	—27,97
			—15,19	—26,12	—36,98	—44,80
	3		—6,62	— 13,86	— 18,47	—21,09
			— 10,65	—25,36	—36,10	-44,86
г„	1	0	—4,43	—10,93	— 17,01	—22,13
			—1,98	-,4,62	—8,22	— 12,18
	2		—4,35	—9,87	— 14,21	—18,56
			—1,32	—5,94	—10,23	— 13,86
	3		—3,83	—7,87	— 10,64	— 12,13
			—3,30	—8,58	— 12,87	— 16,50
к	1	0	6,46	17,78	30,54	44,04
			7,15	20,37	37,72	61,21
	2		7,06	17,24	26,96	38,74
			17,94	35,42	58,71	81,16
	3		7,10	16,17	22,82	26,76
			11,86	33,91	56,42	81,20

Если учесть также качество восстановления и выбрать ФК. В ти­па 2 (наименьшая определенность при оценке состояния после вос­становления) , то требуются измерители обобщенного параметра с 0^0,1. Такая оценка минимаксна и гарантирует преимущества системы эксплуатации по состоянию по выбранным критериям. Од­нако она не всегда целесообразна с экономической точки зрения, так как на разработку и создание измерителей могут потребоваться затраты, которые не окупятся выгодами от внедрения эксплуатации по состоянию. В этом случае точность оценки технического состоя­

ния АС выбирают с учетом огра­ничений по стоимости, причем для оценки экономической эффектив­ности можно воспользоваться ме­тодикой, изложенной в [68].

Анализ влияния погрешностей системы контроля и качества вос­становительных работ на показа­тели системы эксплуатации позво­ляет сделать важное заключение — об устойчивости системы эксплуа­тации АС по состоянию к этим наиболее характерным для экс­плуатации факторам. В самом деле, при вариации этих факторов процесс моделирования приводил к сходимости выбранных показа­телей к некоторым константам (естественно, различным для раз­личных исходных данных). Так как в алгоритме моделирования была заложена трехкратная последовательная проверка условия попадания показателя в заданную область, то можно утверждать что оценки показателей сходятся к своим истинным значениям, а это подтверждает устойчивость системы эксплуатации к дестаби­лизирующим факторам.